Ошибка
  • Delete failed: '4a5ee23e2c17b3f356e0138e987261c3.php_expire'
  • Delete failed: '4a5ee23e2c17b3f356e0138e987261c3.php'
  • Delete failed: 'fb4edba493ea29c1e7973443c4e1a5f3.php_expire'
  • Delete failed: 'fb4edba493ea29c1e7973443c4e1a5f3.php'
  • Delete failed: 'c0c378b07a6e53ce60d5facb7a86f9b3.php_expire'
  • Delete failed: 'c0c378b07a6e53ce60d5facb7a86f9b3.php'
  • Delete failed: 'fd98c7b68c860619fab311db6212f470.php_expire'
  • Delete failed: 'fd98c7b68c860619fab311db6212f470.php'

Создать PDF Рекомендовать Распечатать

Математические модели управления золотовалютными резервами с применением опционов

  • Автор (авторы):
    Крючков Михаил Викторович, Русаков Сергей Владимирович
  • Дата публикации:
    29.11.16
  • ВУЗ ИЛИ ОРГАНИЗАЦИЯ:
    Национальный исследовательский университет «Высшая Школа Экономики» – Пермь

Математические модели управления золотовалютными резервами  с применением опционов

  Mathematical models of governance of federal gold reserves using the options

 

Крючков Михаил Викторович

Kryuchkov M.V.

старший преподаватель кафедры высшей математики

Национальный исследовательский университет «Высшая Школа Экономики» – Пермь

e-mail: mkryuchkov@hse.ru

Русаков Сергей Владимирович

Rusakov S.V.

доктор физико-математических наук

профессор кафедры информационных технологий в бизнесе

Национальный исследовательский университет Высшая Школа Экономики – Пермь,

заведующий кафедрой прикладной математики и информатики

Пермский Государственный

Национальный Исследовательский Университет

e-mail: rusakov@psu.ru

 

Аннотация. В работе исследуются валютные интервенции, проводимые Банком России в период активных продаж (осенние месяцы 2014 года). В модельном примере предлагается заменить часть операций по покупке/продаже средств золотовалютного резерва на соответствующие сделки, с применением производных финансовых инструментов: кол/пут опционов. Известные значения валютных продаж позволяют построить финансовые стратегии, для которых делаются выводы об их эффективности по критерию максимизации выручки.

Annotation. This paper investigates the foreign exchange intervention carried out by the Bank of Russia in the period of active sales (autumn, 2014). The model example is proposed to replace part of the operations of buy/sell of federal gold reserves to the relevant transaction with derivatives: call/put options. The known values of currency sales allow building financial strategies, which draws conclusions about their effectiveness on the criterion of maximizing revenue.

Ключевые слова: золотовалютные резервы, математическое моделирование, опционы, производные финансовые инструменты, технический анализ.

 Key words: federal gold reserves, mathematical modeling, options, derivatives, technical analysis.

Введение.

Глобальные изменения в структуре мировых финансов ставят перед властями серьезные задачи. Актуальной является тема достаточности имеющихся золотовалютных резервов (ЗВР), оптимальности их структуры и эффективности их управления. В работе [1] приводятся несколько критериев определения оптимальности величины ЗВР, ставится ряд важных задач, обеспечить решение которых можно наличием достаточного фонда международных резервов. В общем контексте данной темы активно дискутируется вопрос о рациональном использовании имеющихся в распоряжении Центрального Банка Российской Федерации (ЦБ РФ, Банка России) ЗВР в условиях ограниченности их основных источников. По результатам работ [2,3,4] напрашивается вывод о существовании определенной специфичности в управлении, формировании и использовании ЗВР в России, экономика которой по официальным данным МВФ, относится к развивающейся. Важной составляющей системы защиты от возможных негативных последствий, возникающих в период экономического кризиса, а также в условиях санкций, является формирование такого уровня ЗВР, который обеспечит возможность регулирования валютного курса и поддержания экономической стабильности.

Существенная часть продаж иностранной валюты из средств ЗВР России была осуществлена в 2014 году: на 1 января 2014 года высоколиквидные иностранные активы составляли 509,59 млрд. долларов, а на 1 января 2015 года – 385,46 млрд. долларов [5]. Согласно официальным данным Банка России, из 124,13 млрд. долларов ЗВР, израсходованных в 2014 году, большая часть продаж осуществлялась в осенние месяцы. Многие экономисты связывают этот факт с резким падением мировых цен на нефть и зависимостью курса рубля по отношению к доллару от стоимости нефти и ее связью с параметрами федерального бюджета [6]. Необходимость данных мер была также продиктована функциями по организации и проведению валютных регулирований, а также осуществлению эффективного управления ЗВР, прописанных в основном законе о Центральном Банке Российской Федерации[7], а согласно статье 75 Конституции РФ основной функцией ЦБ РФ является защита и обеспечение устойчивости рубля[8].

Характеристика исследуемой области.

В целях повышения эффективности деятельности банка и для оперативного управления финансовыми операциями необходима система прогнозирования финансового состояния. В работе [9] приводится пример простой авторегрессионной модели, позволяющей моделировать динамику изменений рынка золота в целях управления золотовалютными резервами. В статье [10] описываются подробные рекомендации, направленные на повышение эффективности интервенций ЦБ РФ, однако не раскрыто само понятие эффективности с точки зрения последствий принятых решений. Вопрос повышения качества валютных продаж подробно рассматривался в работе [11], но моделирование управления действиями регулятора ограничивалось лишь определением дня продажи фактического объема валюты. Целью данной работы является исследование математических моделей управления ЗВР с помощью производных финансовых инструментов[12].

Описание математических моделей.

Для построения математической модели используются данные по динамике официального курса доллара США по отношению к рублю [13] и агрегированные данные по ежедневным валютным интервенциям Банка России на внутреннем валютном рынке [5]. Также учитываются прогнозные значения курса доллара, построенные с помощью модели, подробно описанной в работе [11], использующей динамику цен на нефть в краткосрочном периоде. Качество валютных интервенций будем оценивать объемом выведенных из обращения рублей, полученным в результате фактической продажи иностранной валюты.

В качестве производного финансового инструмента, пригодного для построения математических моделей, используем опцион. Опцион – договор, по которому потенциальный покупатель (или продавец) получает право, но не обязательство, совершить покупку (или продажу) базового актива по заранее оговоренной цене в определенный момент будущего времени [12]. Управление ЗВР с помощью опционов в рамках рассматриваемой модели аналогично операциям по сделками финансового трейдера; их подробное математическое описание изложено в работе [14]. Для построения математической модели используем официальные данные ЦБ РФ по объемам валютных интервенций в период активных валютных продаж (с 01 октября по 10 ноября 2014 года, таблица 1), а также значения краткосрочного прогноза относительно курса доллара по отношению к рублю.

Таблица 1. Фактические объемы продаж иностранной валюты, осуществляемые Банком России из средств ЗВР, 2014 год (млн. долл. США).

 kr1

 

Рассмотрим опцион с фиксированной прибылью (цифровой или бинарный опцион) – в зависимости от выполнения оговоренного условия в оговоренное время, либо обеспечивающий фиксированную премию, либо не приносящий ничего. Один из основных его типов Call/Put (кол/пут) опцион основан на прогнозировании направления дальнейшего движения цены базового актива относительно текущей (на момент покупки опциона) цены этого актива: если ожидается что цена вырастет, то покупается пут-опцион, если прогнозируется падение цены – покупается кол-опцион. До 1 июня 2015 года опционы закреплялись в Российском праве на уровне судебной практики, а начиная с указанной даты в Гражданском кодексе РФ появились соответствующие виды договоров.

 Если обозначить за  p – вероятность верного прогноза движения цены, а за x – сумму премии опциона, то в терминах математической теории игр можно сформулировать следующее утверждение: игрок с вероятностью p получает выигрыш размером x единиц и с вероятностью 1-p проигрывает x. Математическое ожидание прибыли в одной такой игре находится по формуле . В данной постановке задача подробно рассматривалась в работе [15], а полученные в ходе исследования критерии эффективности применяемых финансовых стратегий получили подтверждение в работе [16]. Перейдем к краткому описанию рассматриваемых для построения моделей стратегий.

В данной постановке рассматриваемая задача относится к разделу вопросов принятия решений в условиях неопределенности: игре с природой. Любая стратегия  подразумевает некоторую ставку, а состояния природы  можно обозначить вектором  соответствующего тому факту, что ставка либо выиграна (1) либо проиграна (0); природа реализует состояние  с вероятностью p, а  с (1-p).

Введем дополнительные обозначения и запишем функцию выигрыша:

N - количество игр в серии;  - множество стратегий;  - выигрыш в n-ой игре: дискретная случайная величина, принимающая значение  с вероятностью p и  с вероятностью (1-p), где  - размер ставки в n-ой игре, соответствующей стратегии ; BR(n) - величина банкролла после n игр:  - функция выигрыша для стратегии ; .

Перейдем к описанию исследуемых стратегий.

1. Постоянная ставка. Размер ставки x постоянен, не зависит от величины текущего банкролла и определяется таким образом, чтобы в любой момент игры величина банкролла позволяла сделать такую ставку. Обозначим эту стратегию . Размер ставки в n-ой игре для данной стратегии определяется формулой .

2. Фиксированный процент от банкролла. Размер ставки x составляет от текущего банкролла некоторый процент. Данная стратегия обозначена . Размер ставки в n-ой игре данной стратегии вычисляется .

3. Критерий Келли. Для нашей задачи формула Келли дает рекомендацию, что оптимальной будет ставка размером в (2p-1) имеющегося банкролла. Обозначим эту стратегию за . Размер ставки в n-ой игре для данной стратегии .

4. Метод Мартингейла. Метод Мартингейла – система управления ставками в азартных играх, которая заключается в следующем: после каждого проигрыша игрок должен увеличивать ставку так, чтобы в случае выигрыша окупить все прошлые проигрыши в этой серии с небольшим выигрышем. Данная стратегия имеет обозначение . Размер ставки в n-ой игре для данной стратегии , где  отвечает за выигрыш по ставке:

5. «5-агрессивная» стратегия. «5-агрессивная» стратегия является некоторым расширением метода Мартингейла – в случае выигрыша окупить не только прошлые проигрыши, но и получить доход в размере произведения количества игр на изначальную сумму ставки. «5-агрессивная» стратегия обозначена . Размер ставки в n-ой игре для «5-агрессивной» стратеги находится , где  отвечает за выигрыш по ставке: .

6. Стратегия «All-in». Стратегия «All-in» или «Ва-Банк» подразумевает в каждой игре максимально возможную ставку. Данную стратегию обозначим . Размер ставки в n-ой игре .

Перейдем к адаптации финансовых систем ставок к исследуемой области. Напомним, что основная задача исследования – построение математических моделей управления ЗВР, ориентированных на повышение выручки, полученной в результате фактических продаж установленных объемов валюты. Для применения рассматриваемых стратегий  разобьем исследуемый временной промежуток (данные таблицы 1) на 5 серий по 5 игр – такой подход аргументируется тремя факторами: аналогия с реальной активностью биржи (5 рабочих дней), хороший вариант исходя из общего количества наблюдений (26), возможность применения «5-агрессивной» финансовой стратегии. Небольшая несогласованность данных в последней серии, обусловленная наличием дополнительного дня (26-го) и особенностью работы Банка России, связанной с выходным днем (04.11) в отличие от международных бирж, устраняется соответствующей корректировкой модели. Опишем для каждой стратегии ее техническую реализацию с помощью математических вычислений, осуществляемых средствами MicrosoftExcel.

1. Постоянная ставка. Прокомментируем на примере данной стратегии техническую реализацию моделей (рис. 1). Столбцы A, K и L содержат соответственно дату, объем проданной в текущую дату валюты из средств ЗВР (в млн. долларов) и установленный ЦБ РФ на эту дату курс доллара по отношению к рублю. Столбцы O, P, S отвечают за качество модели: O содержит прогноз относительно роста курса доллара (значение «З» соответствует росту – курс выше будет завтра; «С» соответствует падению – курс выше «сегодня»); P принимает значения 1 или 0 соответственно при верном или неверном прогнозе указанном в столбце O; S содержит статистическую вероятность верного прогноза модели (отношение количества правильных прогнозов к их общему числу). Столбец T содержит значения объема валюты (банкролл), управление которым осуществляется в соответствии с исследуемой стратегией . Начальное значение (ячейка T42) формируется как сумма отведенного на данный период времени объема валютных продаж; последующие его значения уменьшаются на стоимость опциона в случае неверного прогнозирования дальнейшего направления изменения цены актива (в нашем случае – курса доллара по отношению к рублю). В случае верного прогноза величина банкрола не изменяется, а премия опциона (выраженная в валюте) реализуется по «сегодняшнему» или «завтрашнему» курсу в зависимости от прогноза в столбце O – эта выручка (уже в рублях) фиксируется в ячейках столбца V. Положительные значения ячеек столбца U свидетельствуют о получении премии за опцион, отрицательные – о проигранной стоимости опциона, а их абсолютные значения определяются в соответствии с выбранной стратегией (для стратегии  они составляют 1/5 начального банкрола). В последний день серии игр реализуется остаток банкрола.

Рис 1. Реализация вычислений для стратегии .

2. Фиксированный процент от банкролла. Для описания технической реализации этой и последующих стратегий ограничимся тремя столбцами (по аналогии со столбцами T, U и V). Для стратегии  значения стоимости опциона (столбец X) вычисляются как размер текущего банкрола, деленный на оставшееся количество игр в серии (рис. 2).

Рис 2. Реализация вычислений для стратегии

3. Критерий Келли. Для данной стратегии существует ряд особенностей. Во-первых, для нахождения стоимости опциона нужна оценка вероятности успеха (напомним, что за эту величину у нас отвечают ячейки столбца S). Во-вторых, формула Келли может применяться лишь при условии p>0.5. Используемая в работе прогностическая модель позволяет применить данную стратегию лишь в последних двух сериях игр. Значения стоимости опциона (столбец AK) вычисляются для стратегии  по соответствующим формулам (рис. 3).

Рис 3. Реализация вычислений для стратегии .

4. Метод Мартингейла. Представим формулы нахождения значений стоимости опциона (столбец AA) для стратегии  (рис. 4).

Рис 4. Реализация вычислений для стратегии .

5. «5-агрессивная» стратегия. Для стратегии  значения стоимости опциона (столбец AD) находятся по соответствующим формулам (рис. 5).

Рис 5. Реализация вычислений для стратегии

6. Стратегия «All-in». Представим формулы нахождения значений стоимости опциона (столбец AG) для последней из рассматриваемых стратегии  (рис. 6).

Рис 6. Реализация вычислений для стратегии .

Апробация результатов исследования.

Вопрос качества управления ЗВР рассматривается по критерию выведенных из обращения рублей, полученных в ходе фактических валютных продаж (выручки). Реальное значение этой величины можно оценить путем консолидации произведений фактических объемов по дням валютных продаж на установленный ЦБ РФ курс доллара на данный день. Воспользовавшись этой методикой подсчета, найдем оценку реального значения выручки в 1 259 953,77 млн. рублей. В модельных примерах управления ЗВР с помощью опционов для каждой стратегии выручка складывалась из фактической продажи и премий за опционы (сумма по последним столбцам на рис. 1-6). Представим данные для каждой стратегии (строка "44", млн. рублей), а также прирост в % (строка "48") от оценки реальной выручки; строкой ниже (строка "50") выпишем ожидаемые значения выигрышей в серии из 5 игр, полученные в работе[15] (рис. 7).

Рис 7. Модельные значения выручки.

По результатам проведенного исследования можно сделать ряд важных заключений. Один из основных выводов состоит в том, что большой прирост выручки обеспечивают стратегии с большим ожидаемым выигрышем (выборочная корреляция по числовым значениям строк "48" и "50" составляет 0,92), но в то же время, обладающие и высоким риском (отклонением от ожидаемого среднего). Также заметим, что основополагающим фактором роста прибыли является наличие прогностической модели, способной давать в нашем примере верный прогноз в отношении движении цены базового актива примерно в 60% случаев. Не следует забывать, что цена опциона, подразумевает некоторую «плату» за отложенное право его возможной реализации; как правило, эта «плата» вычисляется организатором торгов, поэтому при модельной оценке прибыли необходимо учитывать, чтобы рост выручки от применения опционов был выше указанной брокерской комиссии, либо брать на себя накладные расходы по самостоятельной организации торгов. Следует также отметить, что предлагаемое управление ЗВР с помощью опционов не противоречит одной из главных целей Банка России при осуществлении валютных интервенций – обеспечению устойчивого курса рубля, поскольку в случае необходимости повышения предложения валюты на внутреннем рынке (для изменения рыночного курса) имеется возможность реализовать соответствующий опцион на продажу валюты.

 

Библиографический список:

 

1. Рамазанов С.А. Особенности управления золотовалютными (международными) резервами Банка России // Финансы и кредит. 2009. N 26 (362). С. 41-45.

2. Климова Е.З. Проблемы управления золотовалютными резервами в условиях экономического кризиса // Механизмы решения проблем социально-экономического развития. Сборник статей международной научно-практической конференции. 2016. С. 28-34.

3. Харитонова О.В. Современные тенденции управления золотовалютными резервами Российской Федерации // Научные труды южного филиала национального университета биоресурсов и природопользования Украины Крымский агротехнологический университет. Серия: экономические науки. 2014. N 159. С. 122-128.

4. Кузнецова И.В. Эффективность управления золотовалютными резервами Российской Федерации в целях стабилизации экономики страны // Вестник научных конференций. 2016. N 2-2 (6). С. 70-72.

5. Данные по интервенциям Банка России на внутреннем валютном рынке [Электронный ресурс] // Базы данных ЦБ РФ. URL: http://www.cbr.ru/hd_base/Default.aspx?Prtid=valint_day (дата обращения: 25.01.2016).

6. О параметрах курсовой политики Банка России [Электронный ресурс] // Пресс-служба Банка России. URL: http://www.cbr.ru/press/PR.aspx?file=10112014_115454dkp2014-11-10T11_52_10.htm (дата обращения: 25.01.2016).

7. О Центральном Банке Российской Федерации (Банке России): Федеральный закон от 10.07.2002 N 86-ФЗ.

8. Конституция РФ: статья 75 пункт 2.

9. Ефремов А.А., Наганович А.Н. Использование ARIMA-моделей в повышении эффективности управления золотовалютными резервами (на примере Нацбанка Республики Беларусь) // Моделирование в технике и экономике. Сборник материалов международной научно-практической конференции. 2016. С. 364-366.

10. Лебединская О.Г., Тимофеев А.Г. Особенности валютных интервенций ЦБ в условиях санкций // Управление экономическими системами: электронный научный журнал. 2014. N 2 (62). С. 153-155.

11. Крючков М.В., Русаков С.В. К вопросу о повышении качества валютных продаж банка России с использованием математического моделирования // Вестник Пермского университета. Сер. «Экономика» = Perm  University Herald. Economy. 2016. N 3 (30). С. 53-60.

12. Буренин А.Н. Форварды, фьючерсы, опционы, экзотические и погодные производные. М.: НТО имени академика С.И. Вавилова, 2005.

13. Динамика официального курса заданной валюты [Электронный ресурс] // Базы данных ЦБ РФ. URL: http://www.cbr.ru/currency_base/dynamics.aspx (дата обращения: 25.01.2016).

14. Крючков М.В., Русаков С.В. Математические модели систем поддержки принятия инвестиционных решений финансового трейдера // Управление экономическими системами: электронный научный журнал. 2014. N 12 (72). С. 65.

15. Крючков М.В., Русаков С.В. Расчет показателей эффективности некоторых стратегий в азартной игре // Математическая теория игр и ее приложения. 2015. Т. 7. N 2. С. 33-48.

16. Крючков М.В. Апробация расчета показателя эффективности некоторых финансовых стратегий методом Монте-Карло // Научно-технический вестник Поволжья. 2016. N 5. С. 21-24.

 

  vakperechen

ОБНОВЛЕННЫЙ СПИСОК ВАК 2016 г.
ОТ 19.04.2016  >> ПРОСМОТРЕТЬ
tass
 
ПО ВОПРОСАМ ПУБЛИКАЦИИ СТАТЕЙ И СОТРУДНИЧЕСТВА ОБРАЩАЙТЕСЬ:
skype SKYPE: vak-uecs
e-mail
MAIL: info@uecs.ru
phone
+7 (928) 340 99 00
 

АРХИВ НОМЕРОВ

(01) УЭкС, 1/2005
(02) УЭкС, 2/2005
(03) УЭкС, 3/2005
(04) УЭкС, 4/2005
(05) УЭкС, 1/2006
(06) УЭкС, 2/2006
(07) УЭкС, 3/2006
(08) УЭкС, 4/2006
(09) УЭкС, 1/2007
(10) УЭкС, 2/2007
(11) УЭкС, 3/2007
(12) УЭкС, 4/2007
(13) УЭкС, 1/2008
(14) УЭкС, 2/2008
(15) УЭкС, 3/2008
(16) УЭкС, 4/2008
(17) УЭкС, 1/2009
(18) УЭкС, 2/2009
(19) УЭкС, 3/2009
(20) УЭкС, 4/2009
(21) УЭкС, 1/2010
(22) УЭкС, 2/2010
(23) УЭкС, 3/2010
(24) УЭкС, 4/2010
(25) УЭкС, 1/2011
(26) УЭкС, 2/2011
(27) УЭкС, 3/2011
(28) УЭкС, 4/2011
(29) УЭкС, 5/2011
(30) УЭкС, 6/2011
(31) УЭкС, 7/2011
(32) УЭкС, 8/2011
(33) УЭкС, 9/2011
(34) УЭкС, 10/2011
(35) УЭкС, 11/2011
(36) УЭкС, 12/2011
(37) УЭкС, 1/2012
(38) УЭкС, 2/2012
(39) УЭкС, 3/2012
(40) УЭкС, 4/2012
(41) УЭкС, 5/2012
(42) УЭкС, 6/2012
(43) УЭкС, 7/2012
(44) УЭкС, 8/2012
(45) УЭкС, 9/2012
(46) УЭкС, 10/2012
(47) УЭкС, 11/2012
(48) УЭкС, 12/2012
(49) УЭкС, 1/2013
(50) УЭкС, 2/2013
(51) УЭкС, 3/2013
(52) УЭкС, 4/2013
(53) УЭкС, 5/2013
(54) УЭкС, 6/2013
(55) УЭкС, 7/2013
(56) УЭкС, 8/2013
(57) УЭкС, 9/2013
(58) УЭкС, 10/2013
(59) УЭкС, 11/2013
(60) УЭкС, 12/2013
(61) УЭкС, 1/2014
(62) УЭкС, 2/2014
(63) УЭкС, 3/2014
(64) УЭкС, 4/2014
(65) УЭкС, 5/2014
(66) УЭкС, 6/2014
(67) УЭкС, 7/2014
(68) УЭкС, 8/2014
(69) УЭкС, 9/2014
(70) УЭкС, 10/2014
(71) УЭкС, 11/2014
(72) УЭкС, 12/2014
(73) УЭкС, 1/2015
(74) УЭкС, 2/2015
(75) УЭкС, 3/2015
(76) УЭкС, 4/2015
(77) УЭкС, 5/2015
(78) УЭкС, 6/2015
(79) УЭкС, 7/2015
(80) УЭкС, 8/2015
(81) УЭкС, 9/2015
(82) УЭкС, 10/2015
(83) УЭкС, 11/2015
(84) УЭкС, 11(2)/2015
(85) УЭкС,3/2016
(86) УЭкС, 4/2016
(87) УЭкС, 5/2016
(88) УЭкС, 6/2016
(89) УЭкС, 7/2016
(90) УЭкС, 8/2016
(91) УЭкС, 9/2016
(92) УЭкС, 10/2016
(93) УЭкС, 11/2016
(94) УЭкС, 12/2016
(95) УЭкС, 1/2017
(96) УЭкС, 2/2017
(97) УЭкС, 3/2017
(98) УЭкС, 4/2017
(99) УЭкС, 5/2017
(100) УЭкС, 6/2017
(101) УЭкС, 7/2017
(102) УЭкС, 8/2017
(103) УЭкС, 9/2017
(104) УЭкС, 10/2017
(105) УЭкС, 11/2017
(106) УЭкС, 12/2017

 Федеральная служба по надзору в сфере связи и массовых коммуникаций

№ регистрации СМИ ЭЛ №ФС77-35217 от 06.02.2009 г.       ISSN: 1999-4516