Создать PDF Рекомендовать Распечатать

Анализ немонотонной зависимости оптимального инвестиционного порога от неопределенности спроса

  • Автор (авторы):
    Ткаченко Денис Дмитриевич
  • Дата публикации:
    30.03.12
  • № гос.рег.статьи:
    0421200034/0254
  • ВУЗ ИЛИ ОРГАНИЗАЦИЯ:
    Кисловодский институт экономики и права

Анализ немонотонной зависимости оптимального инвестиционного порога от неопределенности спроса

 

Ткаченко Денис Дмитриевич

кандидат экономических наук,

доцент, докторант

Кисловодский институт экономики и права;

in63@mail.ru

 

Аннотация: Проанализирована модель инвестиционного процесса с учетом неопределенности спроса и исследовано ее влияние на оптимальный инвестиционный порог и стоимость инвестирования.

Ключевые слова: моделирование, инвестиции, неопределенность спроса, оптимизация, риск

Abstract. We study a model of investment process taking account of demand uncertainty and prove that the threshold of investment decreases with uncertainty.

 Keywords: modeling, investment, demand uncertainty, optimization, risk

Согласно классической теории реальных опционов, неопределенность инвестиционной среды в сочетании с необратимостью инвестиций создает стоимость опциона ожидания перед осуществлением инвестирования. Инвестор, имея возможность от­ложить принятие решения об инвестировании и используя всю доступную ему ин­формацию, выбирает момент инвестирования из условия максимизации ожидаемого чистого приведенного дохода (NPV). Заметим, что, несмотря на большое число теоретических работ, посвященных применению метода реальных опционов к исследованию корпоративного инвестирования, в литературе отсутствуют исследования влияния неопределенности на инвестиционный процесс при условии, что инвестиционный проект имеет конечный срок реализации [1,2]. В работе [3] проанализировано воздействие неопределенности на  стоимость опциона инвестирования. Сначала показано, что стоимость ожидания, отраженная в уровне инвестиционного порога, всегда возрастает с ростом неопределенности, если инвестиционный проект рассматривается на бесконечном временном горизонте, или если ставки дисконтирования не испытывают влияния неопределенности. Во-вторых, если равновесная ставка дисконтирования содержит положительную рисковую премию, установлено, что стоимость опциона инвестирования (стоимость ожидания)  снижается с ростом неопределенности в случае, если инвестиционный проект рассматривается на конечном временном горизонте и уровни неопределенности невысоки. Предложена экономическая интерпретация полученных результатов.

Теперь рассмотрим более общую ситуацию, когда временной горизонт инвестиционного проекта конечен, и ставка дисконтирования устанавливается в равновесии на рынке капитала с положительной рисковой премией. Анализ, проведенный ниже, показывает, что в общем случае зависимость величины оптимального инвестиционного порога от неопределенности немонотонно.

  Утверждение 1. Если временной горизонт инвестиционного проекта конечен и , то воздействие неопределенности доходности проекта на величину оптимального инвестиционного порога немонотонно: оптимальный инвестиционный порог убывает по волатильности  при малых значениях волатильности, а затем с ростом волатильности оптимальный инвестиционный порог возрастает с ростом неопределенности. Длина интервала значений волатильности , на котором оптимальный инвестиционный порог убывает по волатильности, снижается с ростом временного горизонта инвестиционного проекта.

Доказательство. Предполагаем, что временной горизонт инвестиционного проекта  конечен и . Нужно доказать, что функция 

  отрицательна при малых значениях неопределенности , а затем с ростом волатильности  функция  становится положительной. Во-первых, полезно заметить, что

  и .       (1)

Непосредственной проверкой можно убедиться также в том, что справедлива цепочка неравенств

.                   (2)

Далее заметим, что при нулевой волатильности   функция  отрицательна:

.

Поэтому производная

также отрицательна при  . С ростом неопределенности  функция   сходится к нулю, и функция  становится положительной.

Покажем теперь, что функция  меняет свой знак с отрицательного на положительный только один раз при возрастании волатильности  . При  имеют место соотношения:

и

     (15)

Неравенство (15) следует из (1) и (2). Следовательно, функция   начинает возрастать по волатильности в точке, в которой  . Далее, непрерывность функции   означает, что она меняет свой знак только один раз с отрицательного на положительный при некотором значении волатильности  . Тем самым первая часть Утверждения доказана.

Для того чтобы доказать, что длина интервала значений волатильности , на котором оптимальный инвестиционный порог убывает по волатильности, снижается с ростом временного горизонта инвестиционного проекта, исследуем знак производной :

 

.

Это неравенство следует из того, что

и производная (3) положительна. 

На рис. 1 и в табл. 1 представлены результаты численных расчетов, иллюстрирующие доказанное Утверждение. Численные расчеты проведены в широких интервалах изменения практически реализуемых ключевых параметров модели. Из рис. 1 и табл. 1 видно, что имеет место отрицательное соотношение между волатильностью  и оптимальным инвестиционным порогом    при невысоких уровнях неопределенности. Этот эффект более выражен для краткосрочных проектов, однако даже для проекта, имеющего 30 – летний срок реализации, оптимальный инвестиционный порог   убывает по волатильности вплоть до значений  . Приведенные примеры расчетов показывают, что положительное воздействие неопределенности на инвестирование (соответствующее отрицательному воздействию на оптимальный инвестиционный порог) имеет место для экономически значимых параметров модели.  Рис. 1 и табл. 1 подтверждают, что для инвестиционных проектов с бесконечным временным горизонтом соотношение между неопределенностью и оптимальным инвестиционным порогом    монотонно, и величина оптимального инвестиционного порога возрастает с ростом неопределенности доходности проекта.

Таблица 1

 

Инвестиционный порог как функция волатильности для различных сроков реализации проекта   при ; ; ; ;

 

 

 

Проведем экономическую интерпретацию немонотонного воздействия неопределенности на оптимальный инвестиционный порог. Из соотношений (3) и (7) следует, что величина оптимального инвестиционного порога может быть представлена в виде     

.      (4)

Целесообразно идентифицировать все переменные, испытывающие воздействие неопределенности, и рассматривать величину оптимального инвестиционного порога как функцию трех переменных: . Тогда производная от величины оптимального инвестиционного порога по волатильности   может быть представлена в виде следующих трех составляющих:

 

.          (5)

 

Эти три составляющие имеют ясную интерпретацию и определенный знак (при условии ). Первая составляющая в правой части выражения (5), которая представляет собой эффект дисконтирования, является мерой воздействия неопределенности доходности инвестиционного проекта на ставку, используемую при дисконтировании стоимости инвестиционного проекта. Рост неопределенности приводит к повышению ставки дисконтирования, что снижает чистую настоящую стоимость инвестиционного проекта. Это означает, что менее выгодно инвестировать в такой проект, что приводит к росту величины оптимального инвестиционного порога. Следовательно, эффект дисконтирования всегда положителен.

Поскольку вторая и третья составляющие производной от величины оптимального инвестиционного порога по волатильности воздействуют на оптимальный инвестиционный порог посредством , они отражают влияние неопределенности на стоимость опциона инвестирования. В дальнейшем будем называть совместное действие этих составляющих эффектом опциона инвестирования. Воздействие волатильности, описываемое производной

   

,

описывает прямое влияние неопределенности на стоимость опциона инвестирования. Более высокая неопределенность приводит к росту верхней границы потенциального выигрыша от исполнения опциона, оставляя нижнюю границу потенциального выигрыша неизменной и равной нулю. Этот эффект оказывает положительное воздействие на стоимость опциона инвестирования. Увеличение стоимости опциона инвестирования означает, что фирма имеет больше стимулов к откладыванию инвестирования. Это приводит к повышению альтернативных издержек инвестирования, так что величина оптимального инвестиционного порога будет расти. Следовательно, эффект волатильности однозначно положителен.

Произведение

в выражении (5) представляет собой воздействие неопределенности на стоимость опциона инвестирования посредством рисковой доходности, и поэтому этот эффект будем называть эффектом рисковой доходности. Рост неопределенности приводит к повышению рисковой премии ожидаемой ставки доходности и поэтому на рисковую доходность, что в свою очередь повышает альтернативные издержки владения опционом инвестирования и, следовательно, снижает стоимость опциона инвестирования. По этой причине повышается привлекательность более раннего инвестирования, что приводит к снижению оптимального инвестиционного порога. Следовательно, эффект рисковой доходности отрицателен.

Подытоживая проведенный анализ, заключаем, что эффекты дисконтирования и волатильности положительны, в то время как  эффект рисковой доходности отрицателен. Очевидно, что отрицательное соотношение между неопределенностью и оптимальным инвестиционным порогом может иметь место только в том случае, если эффект рисковой доходности превосходит два других эффекта. Следующее Утверждение показывает, как уровень неопределенности и временной горизонт инвестиционного проекта влияет на относительную величину отмеченных трех эффектов.

Утверждение 2. 

1.     Определим

.

Суммарный эффект воздействия неопределенности на оптимальный инвестиционный порог  отрицателен при  и положителен при .

2.     Чем меньше временной горизонт инвестиционного проекта , тем меньше эффект дисконтирования и больше по абсолютной величине обе составляющих опциона инвестирования.

Доказательство. Запишем выражение для двух составляющих опциона инвестирования:

              (6)

Поскольку  и

,

знак выражения (6) зависит от знака функции

в соответствии с Утверждением, т.е. суммарный эффект воздействия неопределенности на оптимальный инвестиционный порог  отрицателен при  и положителен при .

Осталось показать, что существует единственное неотрицательное значение  . Заметим, что если image002, при  получаем , и суммарный эффект воздействия неопределенности на оптимальный инвестиционный порог отрицателен. Чтобы проверить, что эффект опциона инвестирования изменяет свой знак с отрицательного на положительный только один раз при возрастании , покажем, что функция  (непрерывная по переменной  ) всегда возрастает по волатильности  при условии  . Действительно, имеем

при .

Эффект дисконтирования  можно преобразовать следующим образом 

.

Это выражение всегда положительно и возрастает по длине инвестиционного горизонта . Из (6) непосредственно следует, что составляющие

 и  

 убывают  по абсолютной величине с ростом инвестиционного горизонта .

Первая часть Утверждения 2 устанавливает, что знак воздействия неопределенности на оптимальный инвестиционный порог неоднозначен, однако существуют две области изменения волатильности, в которых этот знак положителен или отрицателен. При относительно высоком уровне неопределенности положительный эффект волатильности преобладает над отрицательным эффектом рисковой доходности. При относительно низком уровне неопределенности отрицательный эффект доминирует. В таком случае предельное увеличение неопределенности оказывает слабое воздействие на вероятность достижения экстремальных значений стохастическим процессом, определяющим динамику доходности проекта и, следовательно, эффект волатильности относительно мал. С другой стороны, эффект рисковой доходности также значителен при низких уровнях неопределенности, поскольку эффект рисковой доходности  линеен по волатильности , что означает, что предельный эффект  волатильности  в   постоянен (в действительности эффект рисковой доходности не постоянен, однако снижается при повышении  , поскольку полный эффект действует через дисконтный фактор).

Вторая часть Утверждения 2 устанавливает, что эффекты дисконтирования и опциона инвестирования реагируют по-разному на изменения инвестиционного горизонта проекта. Эффект дисконтирования снижается при сокращении инвестиционного горизонта. Очевидно, что проекты с малым инвестиционным горизонтом относительно нечувствительны к предельным изменениям ставки дисконтирования. С другой стороны, эффекты опциона инвестирования возрастают при сокращении инвестиционного горизонта. Это объясняется тем, что более короткий инвестиционный горизонт проекта означает, что текущий поток прибыли должен быть больше, чтобы инвестирование было оптимальным, что приводит к более высоким эффектам опциона инвестирования.   

 

Литература

1.     Dixit, A. K. & Pindyck, R. S. (1994), Investment under Uncertainty, Princeton Uni­versity Press.

2.     Аркин В.И., Сластников А.Д., Аркина С.В. Инвестирование в условиях неопределенности и задачи оптимальной остановки // Обозрение прикладной и промышленной математики. – 2004. – Т. 11, выпуск  1. – С. 3-33.

3.     Ткаченко Д.Д. Влияние неопределенности спроса на стоимости опционов инвестирования и оптимальные инвестиционные пороги // Управление экономическими системами (электронный научный журнал), 2012. - № 2 (38).

  vakperechen

ОБНОВЛЕННЫЙ СПИСОК ВАК 2016 г.
ОТ 19.04.2016  >> ПРОСМОТРЕТЬ
tass
 
ПО ВОПРОСАМ ПУБЛИКАЦИИ СТАТЕЙ И СОТРУДНИЧЕСТВА ОБРАЩАЙТЕСЬ:
skype SKYPE: vak-uecs
e-mail
MAIL: info@uecs.ru
phone
+7 (928) 340 99 00
 

АРХИВ НОМЕРОВ

(01) УЭкС, 1/2005
(02) УЭкС, 2/2005
(03) УЭкС, 3/2005
(04) УЭкС, 4/2005
(05) УЭкС, 1/2006
(06) УЭкС, 2/2006
(07) УЭкС, 3/2006
(08) УЭкС, 4/2006
(09) УЭкС, 1/2007
(10) УЭкС, 2/2007
(11) УЭкС, 3/2007
(12) УЭкС, 4/2007
(13) УЭкС, 1/2008
(14) УЭкС, 2/2008
(15) УЭкС, 3/2008
(16) УЭкС, 4/2008
(17) УЭкС, 1/2009
(18) УЭкС, 2/2009
(19) УЭкС, 3/2009
(20) УЭкС, 4/2009
(21) УЭкС, 1/2010
(22) УЭкС, 2/2010
(23) УЭкС, 3/2010
(24) УЭкС, 4/2010
(25) УЭкС, 1/2011
(26) УЭкС, 2/2011
(27) УЭкС, 3/2011
(28) УЭкС, 4/2011
(29) УЭкС, 5/2011
(30) УЭкС, 6/2011
(31) УЭкС, 7/2011
(32) УЭкС, 8/2011
(33) УЭкС, 9/2011
(34) УЭкС, 10/2011
(35) УЭкС, 11/2011
(36) УЭкС, 12/2011
(37) УЭкС, 1/2012
(38) УЭкС, 2/2012
(39) УЭкС, 3/2012
(40) УЭкС, 4/2012
(41) УЭкС, 5/2012
(42) УЭкС, 6/2012
(43) УЭкС, 7/2012
(44) УЭкС, 8/2012
(45) УЭкС, 9/2012
(46) УЭкС, 10/2012
(47) УЭкС, 11/2012
(48) УЭкС, 12/2012
(49) УЭкС, 1/2013
(50) УЭкС, 2/2013
(51) УЭкС, 3/2013
(52) УЭкС, 4/2013
(53) УЭкС, 5/2013
(54) УЭкС, 6/2013
(55) УЭкС, 7/2013
(56) УЭкС, 8/2013
(57) УЭкС, 9/2013
(58) УЭкС, 10/2013
(59) УЭкС, 11/2013
(60) УЭкС, 12/2013
(61) УЭкС, 1/2014
(62) УЭкС, 2/2014
(63) УЭкС, 3/2014
(64) УЭкС, 4/2014
(65) УЭкС, 5/2014
(66) УЭкС, 6/2014
(67) УЭкС, 7/2014
(68) УЭкС, 8/2014
(69) УЭкС, 9/2014
(70) УЭкС, 10/2014
(71) УЭкС, 11/2014
(72) УЭкС, 12/2014
(73) УЭкС, 1/2015
(74) УЭкС, 2/2015
(75) УЭкС, 3/2015
(76) УЭкС, 4/2015
(77) УЭкС, 5/2015
(78) УЭкС, 6/2015
(79) УЭкС, 7/2015
(80) УЭкС, 8/2015
(81) УЭкС, 9/2015
(82) УЭкС, 10/2015
(83) УЭкС, 11/2015
(84) УЭкС, 11(2)/2015
(85) УЭкС,3/2016
(86) УЭкС, 4/2016
(87) УЭкС, 5/2016
(88) УЭкС, 6/2016
(89) УЭкС, 7/2016
(90) УЭкС, 8/2016
(91) УЭкС, 9/2016
(92) УЭкС, 10/2016
(93) УЭкС, 11/2016
(94) УЭкС, 12/2016
(95) УЭкС, 1/2017
(96) УЭкС, 2/2017
(97) УЭкС, 3/2017
(98) УЭкС, 4/2017
(99) УЭкС, 5/2017
(100) УЭкС, 6/2017
(101) УЭкС, 7/2017
(102) УЭкС, 8/2017
(103) УЭкС, 9/2017
(104) УЭкС, 10/2017
(105) УЭкС, 11/2017
(106) УЭкС, 12/2017
(107) УЭкС, 1/2018
(108) УЭкС, 2/2018
(109) УЭкС, 3/2018
(110) УЭкС, 4/2018
(111) УЭкС, 5/2018
(112) УЭкС, 6/2018
(113) УЭкС, 7/2018
(114) УЭкС, 8/2018
(115) УЭкС, 9/2018
(116) УЭкС, 10/2018
(117) УЭкС, 11/2018
(118) УЭкС, 12/2018
(119) УЭкС, 1/2019
(120) УЭкС, 2/2019

 Федеральная служба по надзору в сфере связи и массовых коммуникаций

№ регистрации СМИ ЭЛ №ФС77-35217 от 06.02.2009 г.       ISSN: 1999-4516