Ошибка
  • Delete failed: '92e8cb1aef1785c517e8755ca6c2eda8.php_expire'
  • Delete failed: '92e8cb1aef1785c517e8755ca6c2eda8.php'

Создать PDF Рекомендовать Распечатать

Применение теории комплексных переменных в методах прогнозирования временных рядов социально-экономических процессов

Экономический анализ | (83) УЭкС, 11/2015 Прочитано: 7069 раз
(7 Голосов:)
  • Автор (авторы):
    Трофимов Д.Ю.
  • Дата публикации:
    12.11.15
  • ВУЗ ИЛИ ОРГАНИЗАЦИЯ:
    ФГБОУ ВПО «МГТУ им. Г.И.Носова»

ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ КОМПЛЕКСНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ 

В МЕТОДАХ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

APPLICATION OF THE THEORY COMPLEX VARIABLE IN A METOD OF FORECASTING TIME SERIES SOCIO-ECONOMIC PROCESSES

 

 

Трофимов Д.Ю.

Аспирант очной формы обучения ФГБОУ ВПО «МГТУ им. Г.И.Носова», г.Магнитогорск

Помощник Председателя магнитогорского городского Собрания депутатов

e-mail: speaker08@mail.ru

 

Trofimov D.Y.

Postgraduate, full-time training VPO «MSTU. G.I.Nosova» Magnitogorsk

Assistant to the Chairman of the Magnitogorsk City Council of Deputies

e-mail: speaker08@mail.ru

 

 

Аннотация . В работе была поставлена и решена задача о применении теории комплексных переменных для прогнозирования ретроспективных временных рядов. Предложенная методика может использоваться для построения социально-экономических прогнозов, в частности планирования поступлений в доходную часть бюджета муниципальных образований.

Annotation. The paper was formulated and solved the problem of the application of the theory of complex variables to pdict the historical time series. The proposed method can be used for the construction of socio - economic forecasts, in particular the planning revenues in budget revenues of municipalities.

Ключевые слова: временные ряды, прогнозирование, модель Брауна, бюджет, комплексные числа.

Keywords : time series forecasting model Brown, budget, complex numbers

 Одним из главных направлений экономических реформ, проведенных за предыдущее десятилетие в большинстве промышленных государств, является организация краткосрочного планирования бюджетов, в границах которого бюджетный цикл наступает с уточнения ранее сформированных ключевых характеристик краткосрочного финансового проекта на соответствующий год, анализа изменения экзогенных условий и факторов, аргументации изменений вносимых в ключевые показатели бюджета планового периода, а также корректировки или разработки бюджетных проектировок на последующие годы прогнозного периода.

Несмотря на весомость имеющихся работ и существующих методик планирования, часть элементов требует модернизации и улучшения. Изменения бюджетного законодательства не затрагивают аспекты использования альтернативного бюджетного прогнозирования на практике на уровне муниципалитета. До недавних пор не сформулирована единая позиция касательно места альтернативного прогнозирования в более крупной, сложной и устоявшейся системе финансово-бюджетного планирования. Не налажены и не автоматизированы алгоритмы перевода существующего инструментария в инновационный. Зачастую, при определении экономического обоснования прогноза доходной части бюджета муниципального образования копируется опыт федерального центра и регионов. Эти факторы не дают возможность использовать все преимуществами альтернативного прогнозирования бюджетных доходов, что, в свою очередь, сдерживает экономическое и социальное  развитие отдельных муниципалитетов.

Помимо широко распространенных методов прогнозирования, основанных на применении адаптивных моделей, нами был предложен принципиально иной подход к прогнозированию доходной части бюджета муниципального образования, основанный на синтезе классического прогнозирования экспоненциальным сглаживанием и теории функции комплексных переменных.

Зачастую перед исследователем встает задача планирования с краткосрочным горизонтом. Одним из наиболее известных адаптационных методик краткосрочного прогнозирования необратимых процессов является метод Брауна, который также известен как «метод экспоненциального сглаживания». Уникальность данного подхода определяется и разнообразием интерпретаций его свойств.

Основная суть данного метода  в том, что прогнозное значение определяется через предыдущее спрогнозированное значение, но скорректированное на величину отклонения факта от прогноза.

Действительно, самый известный вид модели Брауна выглядит следующим образом:

  (1)

 

Данная формула представляет очевидную интерпретацию её свойств – если постоянная сглаживания равна нолю, то модель не является адаптивной, в обратном случае (равна единице) - является полностью адаптивной к текущей информации и совершенно не инерционна.

Собственно в подобной интерпретации модель Брауна и стала широко известной, и именно в таком виде возникает потребность дать постоянной сглаживания следующую экономическую интерпретацию (которая является наиболее распространенной среди экономистов): представляет собой некоторую среднюю взвешенную, служащую для формирования прогнозного значения. Таким образом, можно сделать вывод, что прогноз формируется из двух частей: из части фактического значения, полученного на наблюдении t и части, спрогнозированной в этом же периоде t. В такой интерпретации можно сделать вывод, что <![if !msEquation]> , так как подразумевается наличие средней между двумя значениями, и именно этой трактовки модели придерживаются многие экономисты.

Тем не менее, в вышеописанном случае мы сталкиваемся с ситуацией, в которой трактовка модели её только ограничивает.

При раскрытии скобок во втором множителе правой части равенства (1), и перегруппировке слагаемых, можно вывести другую форму записи модели Брауна:

 

 (2)

 

В этой форме у неё значительно чётче видны адаптивные черты: прогнозное значение  формируется на основе предыдущего спрогнозированного, а  выступает некоторым коэффициентом адаптации модели к новой поступающей информации. В контексте этой модели степень адаптации может значительно варьироваться: модель может адаптироваться незначительно и отсеивать поступающие «шумы» (когда   мало исоставляет, например, 0,2) или чрезвычайно быстро адаптироваться к поступающей информации в случае, когда в процессе происходят качественные изменения (когда  превышает единицу и составляет, например, 1,9).

Однако смысл модели от этого не меняется - она в той или иной степени (в зависимости от значения коэффициента  адаптируется к новой поступающей информации.

Таким образом, модель Брауна можно рассматривать с двух точек зрения:

1. Когда стоит задача сгладить имеющийся в распоряжении исследователя ряд значений для определения наличия тенденции (в основном при рассмотрении стационарных процессов). В этом случае, как правило, исследователь задаёт значение α в границах от 0 до 1 [1].

2. Когда ставится задача краткосрочного прогнозирования. В этом случае, как правило, исследователь задаёт значение   в пределах от 0 до 2 [2].

Более того, поскольку выражение в скобках второго слагаемого правой части равенства (2) есть ни что иное, как текущая ошибка аппроксимации, то есть:

 

   (3)

 

То модель Брауна может быть записана и так:

 

    (4)

Первое слагаемое в модели Брауна представляет собой средневзвешенное предыдущих значений, то есть она несёт в себе информацию обо всех предыдущих значениях изучаемого ряда. Второе слагаемое, представляющее собой произведение постоянной сглаживания на текущую ошибку аппроксимации, характеризует способность модели учитывать текущую ошибку аппроксимации. Таким образом, модель Брауна обладает способностью адаптироваться к текущим отклонениям от некоторого сложившегося уровня ряда.

Данная адаптация происходит следующим образом: в случае, когда фактическое значение наблюдаемого ряда превышает расчётное, ошибка аппроксимации является положительной, а средняя арифметическая увеличивается на откорректированную с помощью постоянной сглаживания величину этого отклонения.

В том случае, когда текущая ошибка аппроксимации отрицательна, средняя взвешенная уменьшается на откорректированную величину ошибки аппроксимации.

Таким образом, прогнозные значения «стремятся» к текущему значению с одной или другой стороны. В этом и заключается основной смысл адаптации модели Брауна.

Ве к запредельному значению  т.е.  Дать трактовку запредельному случаю метода Брауна (когда 1<   < 2) можно путём разложения   по правилу:    . В таком случае формула (2) может быть преобразована к виду [2]:

 

    (5)

 

Таким образом, при   > 1, модель не только полностью учитывает текущую информацию, но ещё и корректируется на величину отклонения расчётного значения от фактического.

Для модели Брауна характерен эффект «запаздывания».  Для разрешения этого вопроса были разработаны всевозможные модификации метода Брауна, в которых предполагается априорное задание той или иной тенденции в ряде исходных данных.

Например, такой моделью является аддитивная модель сезонных явлений с линейным ростом Тейла и Вейджа [3] или адаптивная модель с мультипликативной сезонностью Уинтерса [4].

Подобных модификаций модели Брауна, решающих проблему с «запаздыванием» достаточно много (да и сам Браун в 1963 году разработал обобщённую модель, позволяющую включать в модель любые функции [5]), но у всех них есть недостатки, важнейшим из которых является априорное задание вида тенденции: либо линейной, либо экспоненциальной, либо циклической и т.п.

На практике из всего перечня модификаций чаще всего используются модели Хольта и Хольта-Уинтерса.

Неоспоримым достоинством данных моделей является то, что они могут учитывать тенденции в рядах исходных данных (как линейные тенденции в случае с моделью Хольта, так и некоторую цикличность в случае с моделью Хольта-Уинтерса). Однако к значительным недостаткам модели можно отнести как раз то, что в основе этих моделей лежит гипотеза о наличии подобных тенденций в рядах данных и ключевая мысль о том, что эти тенденции не должны сильно меняться во времени. Фактически это допущение маловыполнимо: плавные линейные тенденции в рядах данных сменяются резкими нелинейными, а периодичность циклической составляющей не постоянна. В связи с этим у моделей через некоторое время начинаются значительные расхождения по сравнению с реальными данными [5]. Помимо этого, серьезные сложности вызывает подбор постоянных сглаживания и выбор начальных коэффициентов    и параметра    , так как их значения формируют прогнозные качества модели, однако никакого универсального алгоритма их задания не существует. В результате этого исследователю приходится много времени тратить на подбор значений коэффициентов, при которых прогноз получился бы наи адекватным.

Отдельно хочется отметить вопрос постоянных сглаживания в моделях Хольта и Хольта-Уинтерса. Если в модели Брауна ограничение   промежутком от 0 до 2 было определено сутью модели, то в случае с модификациями модели Брауна вводимое рядом исследователей ограничение на постоянные сглаживания от 0 до 1 является некоторым чужеродным элементом, привнесённым в модель извне по аналогии со средневзвешенной. Поэтому данное ограничение значительно меняет саму модель и ухудшает её прогнозные свойства.

Модель Брауна можно представить также и в другом виде. Так, если раскрыть скобки в формуле (1):

 

   (6)

 

после чего прибавить и отнять фактическое значение в правой части в (6), то получим:

 

  (7)

 

Если теперь в (7) вынести за скобки   , то мы придём к новой записи, по прежнему математически тождественной формам (1) и (2):

 

   (8)

 

Благодаря такой записи, «новую» модель можно трактовать несколько иначе. Удобней всего это сделать, если вместо  , ввести коэффициент  , и использовать формулу (3), тогда формула (8) может быть преобразована к виду:

 

   (9)

 

Для классических пределов изменения постоянной сглаживания от нуля до единицы, коэффициент   лежит в пределах от -1 до 0. При положительном знаке текущей ошибки аппроксимации фактическое значение, выступающее в качестве ориентира для прогноза, уменьшается на откорректированную величину текущей ошибки аппроксимации . Это значит, что прогноз по модели Брауна при постоянной сглаживания, лежащей в классических пределах, обладает свойством инерционности – следующее прогнозное значение никогда не достигнет уже имеющегося текущего.

В случае запредельного множества коэффициент β лежит в пределах (0;1). В таком случае при положительном отклонении фактического значения от расчётного, модель предполагает дальнейшее увеличение показателя, превышающее достигнутый уровень. Поэтому фактическое значение увеличивается на величину текущего отклонения, скорректированного на поправочный коэффициент β.

Значит, в классических границах изменения постоянной сглаживания модель Брауна инерционна, а запредельных случаях свойство инерционности исчезает. Необратимые процессы можно разделить на две группы – эволюционные и хаотические. Зная свойства каждой из этих групп процессов, можно дать интерпретацию модели Брауна.

В классических пределах, когда постоянная сглаживания лежит в промежутке от нуля до единицы, модель отражает изменяющиеся, но инерционные процессы, то есть – эволюционные.

В запредельном множестве, когда постоянная сглаживания лежит в пределах от единицы до двух, модель описывает процессы без инерционности изменения тенденций, то есть, процессы соответствующие хаотической динамике.

Учитывая выделенные нами недостатки модификаций метода Брауна (а ими обладают и модель Тейла-Вейджа, и обобщённая модель Брауна, и пр.), развивая логику, положенную в основе модели Брауна, когда та корректирует свои параметры с учётом ошибки, логично было бы не пытаться задать вид тенденций в ряде данных, а прогнозировать одновременно два параметра: значение   и его отклонение от фактического значения:   .

Наилучшим инструментом решения подобной задачи является аппарат теории функций комплексных переменных. Воспользовавшись идеей Савинова Г.В. [6] представим показатель и отклонение от него в виде комплексной переменной   . Тогда и прогнозное значение этой комплексной переменной можно записать как   .Представим   как   .

Тогда по аналогии с моделью Брауна (2) можно получить следующую модель:

 

  )  (10)

 

где   - фактическое значение,   - прогнозное,   - фактическое значение корректировочного показателя,   - прогнозное значение корректировочного показателя,    - коэффициенты модели, t – номер наблюдения.

Рассмотрим случай, когда корректировочный показатель выступает как аналог ошибки аппроксимации, т.е.  .

Подставим значения в уравнение (4):

 

  

 

С учётом свойств комплексных переменных модель (4) может быть сведена к следующей системе действительных уравнений:

 

  (11)

 

Из (5) видно, что прогнозное значение   определяется как некоторое спрогнозированное значение   , найденное методом Брауна, скорректированное на некоторую также спрогнозированную методом Брауна величину   . В свою очередь прогнозное значение корректировочного показателя  >  определяется также двумя составляющими, найденными тем же самым методом Брауна, только путём их сложения спрогнозированный корректировочный показатель    и прогнозное значение    . Здесь верхние индексы «0» и «1» указывают на то, какое значение α из двух используется при расчёте данных значений  .

Очевидно, что в модели (4) прогнозные значения формируются через предыдущие фактические с некоторыми комплексными весами, заданными по алгоритму, похожему на экспоненциальное сглаживание в методе Брауна, но несколько более сложному. Представим в формуле (4) расчётное значение   через предыдущее фактическое   :

 

  

 

Легко заметить, что комплексные веса в этой модели представляют собой ряд, похожий на ряд весов в модели Брауна:

 

  

 

который есть ни что иное, как ряд геометрической прогрессии комплексных чисел. Если этот ряд не будет сходиться, то на текущее прогнозное значение будет большее влияние оказывать устаревшая информация, нежели новая поступающая, из-за чего модель будет давать не очень хороший прогноз. Как известно, ряд геометрической прогрессии сходится к некоторому числу, при выполнении следующего условия [7]:

 

 (12)

 

Для чего в свою очередь достаточно, чтобы выполнялось

 

   (13)

 

Для комплексных переменных условие (13) имеет вид:

 

   (14)

 

откуда путём элементарных преобразований можно получить пределы, в которых должен лежать коэффициент   для того, чтобы ряд сошёлся:

 

   (15)

 

В свою очередь, очевидно, что условие (15) выполнимо только тогда, когда подкоренное выражение положительно (ситуацию, в которой   может быть комплексным числом, мы сейчас не рассматриваем):

 

   (16)

 

Из ограничения (16) легко выводятся пределы, в которых в таком случае должен лежать коэффициент    :

 

  (17)

 

Итак, мы получили границы, в которых должны лежать действительная и мнимая части комплексного коэффициента сглаживания для того, чтобы ряд комплексных весов сходился к некоторому числу.

В свою очередь, мы предлагаем свести модель (5) к более простой. Для этого воспользуемся моделью (2). В соответствие с теорией комплексных переменных проведем замену:  >  :

 

  .(18)

 

С учётом свойств комплексных переменных модель (18) может быть сведена к следующей системе действительных уравнений:

 

  19)

 

   (20)

 

Таким образом, мы получили интуитивно понятную и легко реализуемую в программном комплексе MSExcel модель.

Рассмотрим реализацию предложенной модели для прогнозирования поступлений в доходную часть бюджета города Магнитогорска в разрезе поквартальных значений по статьям поступлений начиная с 2002 года.

Для прогнозирования как отдельных статей доходов бюджета, так и их укрупненных характеристик использовали следующие статьи в соответствие с кодами бюджетной классификации: доходы (всего); налог на доходы физических лиц; единый налог на вмененный доход для отдельных видов деятельности; налог на имущество физических лиц; земельный налог; государственная пошлина; доходы от использования имущества, находящегося в государственной и муниципальной собственности; платежи при пользовании природными ресурсами; доходы от оказания платных услуг; доходы от продажи материальных и нематериальных активов; дотации, субвенции, субсидии, прочие безвозмездные поступления. Последние не относятся к категории налоговых и неналоговых поступлений, а являются безвозмездными поступлениями, следовательно, не подчиняются обычным рыночным закономерностям и в расчетах не участвуют.

Для создания программного обеспечения, результатом работы которого будет являться ряд, содержащий до 12 прогнозных значений (4 первые точки – квартала следующего финансового года (краткосрочный прогноз), оставшиеся – плановый период на 3 года вперед (среднесрочный прогноз)), Управлением финансов г.Магнитогорска была поставлена задача автоматизированной реализации алгоритмов как самостоятельного программного обеспечения, которое должно являться максимально простым в использовании и не требовать специальных знаний математической статистики и программирования сотрудников управления. В настоящее время большинство программного оборудования для подобных целей является специфическим и дорогостоящим, а внесение изменений в такое ПО подразумевает наличие эксперта.

Поэтому было принято решение для автоматизации процесса прогнозирования использовать широко распространенную платформу MicrosoftOfficeExcel с поддержкой языка программирования VisualBasic.

Подставив в нее поквартальные значения основных видов поступлений в доходную часть бюджета муниципального образования, и сравнив прогноз с фактическим значением, можно сделать вывод о достаточном качестве получаемых прогнозов оценив среднеквадратическое отклонении:

·  налог на доходы физических лиц, |δ|=4,61%;

·  единый налог на вмененный доход для отдельных видов деятельности, |δ|=2,88%;

·  налог на имущество физических лиц, |δ|=7,71%;

·  земельный налог, |δ|=6,15%;

·  государственная пошлина, |δ|=3,78;

·  доходы от использования имущества, находящегося в государственной и муниципальной собственности, |δ|=1,4;

·  платежи при пользовании природными ресурсами, |δ|=7,39 и т.д.

В среднем квадратическое отклонение находится в границах 8%. Для нивелирования неточности прогнозов рекомендуется использовать полученную модель в совокупности с моделями Тейла-Вейджа, Хольта-Уинтерса прогнозирование, основанное на анализе сингулярного спектра.

Выводы:

1) Теория комплексных переменных показала высокие результаты при прогнозировании ретроспективных временных рядов, наряду с классическими адаптивными методами.

2) Данный метод рекомендуется к использованию финансовыми органами для прогнозирования доходных статей бюджетов муниципальных образований как альтернативную методику прогнозирования.

 

Список используемых источников

1)  Светуньков С.Г., Светуньков И.С. Методы социально-экономического прогнозирования: Учебник для вузов. Том 1. – СПб.: Изд-во СПбГУЭФ, 2009.

2)  Френкель А.А., Прогнозирование производительности труда: методы и модели. – М.: Издательство «Экономика», 1989.

3) Brown G. Robert, Smoothing, Forecasting and Prediction of Discrete Time Series. – N.Y.: Dover Phoenix Editions, 2004.

4)  Светуньков С.Г., Бутуханов А. В., Светуньков И. С. Запредельные случаи метода Брауна в экономическом прогнозировании. — СПб.: Изд-во СПбГУЭФ, 2006.

5) Theil H., Wage S., Some observations on adaptive forecasting // Management Science. – 1964. – Vol. 10. – № 2.

6) Winters P.R. Forecasting sales by exponentially weighted moving averages // Management Science. – 1960. – Vol. 6. – № 3.

7)  Лукашин Ю.П. Адаптивные методы краткосрочного прогнозирования временных рядов. – М.: Финансы и статистика, 2003.

  vakperechen

ОБНОВЛЕННЫЙ СПИСОК ВАК 2016 г.
ОТ 19.04.2016  >> ПРОСМОТРЕТЬ
tass
 
ПО ВОПРОСАМ ПУБЛИКАЦИИ СТАТЕЙ И СОТРУДНИЧЕСТВА ОБРАЩАЙТЕСЬ:
skype SKYPE: vak-uecs
e-mail
MAIL: info@uecs.ru
phone
+7 (928) 340 99 00
 

АРХИВ НОМЕРОВ

(01) УЭкС, 1/2005
(02) УЭкС, 2/2005
(03) УЭкС, 3/2005
(04) УЭкС, 4/2005
(05) УЭкС, 1/2006
(06) УЭкС, 2/2006
(07) УЭкС, 3/2006
(08) УЭкС, 4/2006
(09) УЭкС, 1/2007
(10) УЭкС, 2/2007
(11) УЭкС, 3/2007
(12) УЭкС, 4/2007
(13) УЭкС, 1/2008
(14) УЭкС, 2/2008
(15) УЭкС, 3/2008
(16) УЭкС, 4/2008
(17) УЭкС, 1/2009
(18) УЭкС, 2/2009
(19) УЭкС, 3/2009
(20) УЭкС, 4/2009
(21) УЭкС, 1/2010
(22) УЭкС, 2/2010
(23) УЭкС, 3/2010
(24) УЭкС, 4/2010
(25) УЭкС, 1/2011
(26) УЭкС, 2/2011
(27) УЭкС, 3/2011
(28) УЭкС, 4/2011
(29) УЭкС, 5/2011
(30) УЭкС, 6/2011
(31) УЭкС, 7/2011
(32) УЭкС, 8/2011
(33) УЭкС, 9/2011
(34) УЭкС, 10/2011
(35) УЭкС, 11/2011
(36) УЭкС, 12/2011
(37) УЭкС, 1/2012
(38) УЭкС, 2/2012
(39) УЭкС, 3/2012
(40) УЭкС, 4/2012
(41) УЭкС, 5/2012
(42) УЭкС, 6/2012
(43) УЭкС, 7/2012
(44) УЭкС, 8/2012
(45) УЭкС, 9/2012
(46) УЭкС, 10/2012
(47) УЭкС, 11/2012
(48) УЭкС, 12/2012
(49) УЭкС, 1/2013
(50) УЭкС, 2/2013
(51) УЭкС, 3/2013
(52) УЭкС, 4/2013
(53) УЭкС, 5/2013
(54) УЭкС, 6/2013
(55) УЭкС, 7/2013
(56) УЭкС, 8/2013
(57) УЭкС, 9/2013
(58) УЭкС, 10/2013
(59) УЭкС, 11/2013
(60) УЭкС, 12/2013
(61) УЭкС, 1/2014
(62) УЭкС, 2/2014
(63) УЭкС, 3/2014
(64) УЭкС, 4/2014
(65) УЭкС, 5/2014
(66) УЭкС, 6/2014
(67) УЭкС, 7/2014
(68) УЭкС, 8/2014
(69) УЭкС, 9/2014
(70) УЭкС, 10/2014
(71) УЭкС, 11/2014
(72) УЭкС, 12/2014
(73) УЭкС, 1/2015
(74) УЭкС, 2/2015
(75) УЭкС, 3/2015
(76) УЭкС, 4/2015
(77) УЭкС, 5/2015
(78) УЭкС, 6/2015
(79) УЭкС, 7/2015
(80) УЭкС, 8/2015
(81) УЭкС, 9/2015
(82) УЭкС, 10/2015
(83) УЭкС, 11/2015
(84) УЭкС, 11(2)/2015
(85) УЭкС,3/2016
(86) УЭкС, 4/2016
(87) УЭкС, 5/2016
(88) УЭкС, 6/2016
(89) УЭкС, 7/2016
(90) УЭкС, 8/2016
(91) УЭкС, 9/2016
(92) УЭкС, 10/2016
(93) УЭкС, 11/2016
(94) УЭкС, 12/2016
(95) УЭкС, 1/2017
(96) УЭкС, 2/2017
(97) УЭкС, 3/2017
(98) УЭкС, 4/2017
(99) УЭкС, 5/2017
(100) УЭкС, 6/2017
(101) УЭкС, 7/2017
(102) УЭкС, 8/2017
(103) УЭкС, 9/2017
(104) УЭкС, 10/2017
(105) УЭкС, 11/2017

 Федеральная служба по надзору в сфере связи и массовых коммуникаций

№ регистрации СМИ ЭЛ №ФС77-35217 от 06.02.2009 г.       ISSN: 1999-4516