Создать PDF Рекомендовать Распечатать

Робастное статистическое оценивание трендовых моделей экономических временных рядов на основе дискретных преобразований

Математические и инструментальные методы экономики | (112) УЭкС, 6/2018 Прочитано: 467 раз
(0 Голосов:)
  • Автор (авторы):
    Исмагилов Ильяс Идрисович, Савдур Светлана Николаевна, Хасанова Светлана Фанилевна
  • Дата публикации:
    11.06.18
  • ВУЗ ИЛИ ОРГАНИЗАЦИЯ:
    ФГАОУ ВПО «Казанский (Приволжский) федеральный университет», Институт управления, экономики и финансов

Робастное статистическое оценивание трендовых моделей экономических временных рядов на основе дискретных преобразований

Robust statistical estimation of economic time series trend models based on discrete transformations

 

Исмагилов Ильяс Идрисович,

Ismagilov Ilyas Idrisovich

заведующий кафедрой экономико-математического моделирования,

д.т.н., профессор

ФГАОУ ВПО «Казанский (Приволжский) федеральный университет», Институт управления, экономики и финансов,

e-mail: iiismag@mail.ru

Савдур Светлана Николаевна,

Savdur Svetlana Nikolaevna

к.т.н. доцент кафедры экономико-математического моделирования

ФГАОУ ВПО «Казанский (Приволжский) федеральный университет», Институт управления, экономики и финансов,

e-mail: Savdur.Svetlana@yandex.ru

Хасанова Светлана Фанилевна

Khasanova Svetlana Fanilevna

старший преподаватель кафедры экономико-математического моделирования

ФГАОУ ВПО «Казанский (Приволжский) федеральный университет», Институт управления, экономики и финансов,

e-mail: svetlana-khasanova-1@yandex.ru

Аннотация: Рассмотрены приложения косоугольных дискретных преобразований Уолша к синтезу алгоритмов робастного оценивания полиномиальных моделей трендов временных рядов. При этом основное внимание уделено алгоритмам оценивания полиномиальных трендов на основе метода наименьших модулей. Достоинством этих алгоритмов является вычислительная эффективность при оценивании полиномиальных моделей низких порядков вследствие их низкой мультипликативной сложности при реализации средствами двоичной арифметики.

Abstract: In this paper, we have examined applications of oblique discrete Walsh transformations to the synthesis of algorithms for robust estimation of polynomial models of time series trends. At the same time, we focused on algorithms for estimating polynomial trends based on the method of the smallest modules. The advantage of these algorithms is the computational efficiency in estimating polynomial models of low orders due to their low multiplicative complexity in implementing binary arithmetic.

Ключевые слова: временные ряды, полиномиальный тренд, полиномиальная модель, робастное оценивание, метод наименьших модулей, алгоритм оценивания, дискретные преобразования, косоугольные дискретные преобразования Уолша.

Key words: time series, a polynomial trend, a polynomial model, robust estimation, the method of least modules, an estimation algorithms, discrete transformations, oblique discrete Walsh transforms.

 

Многие задачи анализа и моделирования в социально-экономических системах используют в качестве анализируемых данных и процессов экономические временные ряды (ВР) [1]. При этом часто используются трендовые моделей ВР, описываемые алгебраическими (степенными) и тригонометрическими полиномами, сплайнами. Для описания трендов ВР широко используется класс дискретных степенных полиномов, определяемый функциональными зависимостями вида

где

При этом часто ограничиваются полиномиальными моделями (ПМ) малых степеней ().

Широкое применение на практике находят также нелинейные модели трендов, приводимые определенными преобразованиями и заменами переменных к полиномиальному виду. Ряд таких моделей представлен в таблице 1 [2].

Таблица 1

Нелинейные трендовые модели, приводимые к полиномиальному виду

 

 

Классические методы оценивания трендовых моделей ВР, основанные на МНК и его обобщениях, весьма чувствительны к нарушениям их предпосылок, при которых справедливы статистические выводы относительно оценок. Повышение эффективности оценок в этих случаях достигается применением таких методов оценивания, которые являются устойчивыми к возможным малым отклонениям от условий их оптимальности. Такие методы относятся к классу методов робастного (устойчивого) оценивания [3-6].

Робастные методы оценивания классифицированы в работах Хубера [6]. По классификации Хубера существуют M-, L-, R-оценки. Все три типа оценок получаются решением некоторой минимизационной задачи с использованием вектора остатков , где вектор , предсказанный по модели (аппроксимация исходного вектора ВР ). M-оценки минимизируют некоторую функцию от , которая часто задается выпуклой таким образом, чтобы конечная оценка была защищена от выбросов. L-оценки строятся на основе линейных комбинаций порядковых статистик, представляющих элементы вариационного ряда остатков. R-оценки получаются на основе ранговых статистик, формируемых также на основе вариационного ряда остатков. Заметим, что большинство методов получения устойчивых оценок являются эвристическими в своей основе.

Спектральный подход к синтезу алгоритмов оценивания ПМ, в том числе робастного, на основе ортогональных дискретных преобразований Уолша и их обобщений развит в [7-10]. Спектральные алгоритмы оценивания на основе МНК и взвешенного МНК могут быть использованы для получения устойчивых L- и M-оценок параметров ПМ. Эти результаты в работе обобщаются на случай использования в алгоритмах оценивания косоугольных дискретных преобразований Уолша (КДПУ) [11]. Отметим, что эти преобразования нашли эффективное применение при синтезе алгоритмов оценивания ПМ трендов и сплайновых моделей ВР низких порядков по МНК [12-14]. Приведем краткие сведения о КДПУ.

Предварительно отметим также, что в работе под дискретным преобразованием (ДП) будем понимать преобразование, вводимое умножением вектора на матрицу , строки которой представляют собой базисные векторы косоугольного (неортогонального) дискретного базиса:

где

 - N-мерный вектор ВР;

 - N-мерный вектор коэффициентов ДП;

 - множество натуральных чисел.

В дальнейшем набор значений , будем называтькосоугольным спектром дискретного сигнала, подчеркивая тем самым, что он является результатом ДП по матрице, составленным из базисных векторов косоугольного дискретного базиса. Частный случай, а именно ДП по косоугольным дискретным функциям Уолша названы нами КДПУ.

Здесь следует отметить следующее. Не следует отождествлять КДПУ со спектральным преобразованием в базисе косоугольных дискретных функций Уолша. Очевидно, что вследствие неортогональности базиса косоугольных дискретных функций Уолша вычисление спектральных коэффициентов преобразуемого вектора связано с необходимостью решения системы линейных алгебраических уравнений.

Подходы к построению обобщенных косоугольных дискретных базисов Уолша предложены в [11,15]. При их построении использованы обобщения дискретной системы Радемахера в классе действительнозначных функций, названные системами наклонных функций Радемахера [16,17]. Эти дискретные системы введены в двух вариантах с использование как несмещенных, так и смещенных наклонных функций Радемахера. При этом смещенные НФР могут принимать лишь неотрицательные значения.

Обобщенные косоугольные дискретные базисы Уолша также построены в двух вариантах, при этом базисные векторы (наклонные функции Уолша) получены перемножением наклонных функций Радемахера. В дальнейшем в работе под косоугольными обобщениями дискретной системы Уолша будем понимать системы, составленные из смещенных наклонных функций Уолша. Для краткости будем придерживаться названия косоугольный дискретный базис Уолша.

Матрица КДПУ порядка  может быть представлена следующим рекуррентным матричным выражением:

где ; ;

- символ кронекеровского произведения матриц;

 - символ послойной суммы матриц.

При  матрица преобразования представляет кронекеровскую степень формирующего ядра :

Явный вид матриц  при  имеет следующий вид:

 ,    

КДПУ имеют быстрые алгоритмы преобразования на основе факторизации матрицы преобразования. Способы факторизации кронекеровских матриц достаточно полно рассмотрены в [17]. Отметим также, что при  КДПУ не требует операций умножения. В дальнейшем в работе, говоря о КДПУ, будем подразумевать ДП размерности .

Разработанные алгоритмы оценивания ПМ по МНК и взвешенному МНК на основе КДПУ могут быть использованы для получения устойчивых L- и M-оценок параметров модели. Здесь следует отметить два вида L-оценок [4]: усечeнные L-оценки и усечeнные L-оценки по Винзору.

Приведем формулы для оценивания ПМ по МНК на основе КДПУ, которые являются базисными для получения вышеуказанных устойчивых L- и M-оценок параметров модели и определяют в основном структуру вычислительных алгоритмов. Ограничимся приведением явных видов формул для оценки коэффициентов ПМ второй степени [12]:

,  

,

>,

где   

;

 - i-ый коэффициент КДПУ вектора ВР.

Ряд видов устойчивых M-оценок может быть получен итеративным применением взвешенного МНК [3,4]. Следовательно, здесь могут найти эффективное применение алгоритмы оценивания ПМ на основе КДПУ, синтезированные на основе взвешенного МНК. На базе этих алгоритмов могут быть построены процедуры получения M-оценок Хубера, M-оценок Андрюса и M-оценок Форсайта. Заметим, что частным случаем M-оценок Форсайта являются оценки МНМ, имеющих большое значение при построении процедур робастного оценивания.

Более подробно остановимся на алгоритмических аспектах робастного оценивания ПМ трендов ВР по МНМ основе КДПУ.

МНМ является одним из важнейших методов робастного оценивания, исследованию которого посвящены работы [3,5]. Этот метод имеет как самостоятельное значение для оценивания параметров моделей в регрессионном анализе, так и служит вспомогательным средством для получения первоначальных приближений параметров в ряде итерационных процедур робастного оценивания.

Оценки вектора коэффициентов ПМ k-степени по МНМ находят из решения следующей задачи минимизации:

где

Решение задачи МНМ является достаточно трудоемким в вычислительном отношении. Эта задача обычно решается либо как задача линейного программирования [4], либо методом вариационно-взвешенных квадратических приближений (алгоритмом Вейсфельда) [3]. Часто на практике более подходящим оказывается второй метод, основанный на использовании взвешенного МНК. К недостатку алгоритмической реализации этого метода следует отнести значительные вычислительные затраты при высокой размерности ВР.

Алгоритмы оценивания ПМ по МНК и взвешенному МНК на основе КДПУ могут быть положены в основу процедур оценивания по МНМ. Приведем поэтапное описание итерационной процедуры нахождения оценок коэффициентов ПМ N-мерного вектора ВР ().

1. Вычисление начальных МНК-оценок  на основе усеченного КДПУ:

где  - матрица коэффициентов весовых функций;

F – вектор косоугольного спектра вектора ВР.

2. Вычисление остатков для m-й итерации:

3. Вычисление диагональных элементов весовой матрицы  m-й итерации:

4. Вычисление (m+1)-го приближения для оценки вектора  на основе взвешенного МНК с использованием матрицы :

где  - матрица весовых коэффициентов;

 - вектор КДПУ взвешенного вектора ВР.

5. Проверка правила останова. Итерации прекращаются, если  где  - заданное малое положительное число, или достижения заданного числа итераций. Если условие останова выполняется, то принимается конечная оценка . В противном случае переходят к этапу 2 и итерации продолжаются.

Часто условие останова итераций записывается в следующем вид:

Обычно b выбирается порядка

Алгоритмы оценивания ПМ невысоких степеней трендов ВР на основе дискретных преобразований Уолша характеризуются сокращенной мультипликативной сложностью. Это особенно ярко проявляется при высоких размерностях ВР. Здесь наблюдается резкое снижение мультипликативной сложности при некотором увеличении аддитивной сложности по сравнению с традиционными прямыми алгоритмами [12]. При этом алгоритмы на основе КДПУ вычислительном отношении более эффективны вычислительном отношении в сравнении со спектральными алгоритмами, основанными ортогональных дискретных преобразованиях Уолша. Это связано с меньшей трудоемкостью вычисления КДПУ.

 

 

Библиографический список

1. Эконометрика / Под ред. И.И. Елисеевой. М.: Финансы и статистика, 2008. -576 с.

2.Ismagilov I.I., Khasanova S. F. Algorithms of parametric estimation of polynomial trend models of time series on discrete transforms // Academy of Strategic Management Journal, Volume 15, Special Issue, 2016. – P. 21-28.

3. Мудров В.И., Кушко В.Л. Методы обработки измерений: Квазиправдоподобные оценки. - М.: Радио и связь, 1983. - 304 с.

4. Вучков И., Бояджиева Л., Солаков Е. Прикладной линейный регрессионный анализ. - М.: Финансы и статистика, 1987. - 239 с.

5. Смоляк С.А., Титаренко Б.П. Робастные методы оценивания. - М.: Статистика, 1980. - 208 с.

6. Хьюбер П. Робастность в статистике: Пер. с англ. - М.: Мир, 1984. - 304 с.

7. Исмагилов И.И. Спектральный подход к полиномиальной аппроксимации цифровых сигналов // Электронное моделирование. – 1993. -№6. – С.51-54.

8. Исмагилов И.И. Дискретные преобразования в базисах уолше-подобных функций: Основы теории и применения в цифровой обработке сигналов. – Казань: Отечество, 2003.

9. Исмагилов И.И., Костромин А.В. Алгоритмы параметрического оценивания полиномиальных моделей цифровых сигналов // Вестник Казанского государственного технического университета им. А.Н. Туполева. - 2004. - №4. - С. 49-53.

10.  Исмагилов И.И., Костромин А.В. Алгоритмы оценивания и статистического анализа полиномиальных моделей временных рядов на основе дискретных преобразований // Вестник КГФЭИ. – 2009. - №4.

11.  Исмагилов И.И. Косоугольные обобщения дискретных базисов Уолша // Известия вузов. Радиоэлектроника. – 2010. - №12. – С. 1-16.

12. Исмагилов И.И., Аглиуллин И.Н., Кирпичников А.П., Костромин А.В. Полиномиальные модели трендов цифровых сигналов: алгоритмы оценивания на основе дискретных преобразований и сравнительный анализ их вычислительной сложности // Вестник Казанского технологического университета. - 2015. - Т. 18. № 12. - С. 132-138.

13.  Исмагилов И.И., Кирпичников А.П., Костромин А.В., Хасанова С.Ф. Применение быстрого дискретного преобразования к фазовому сплайн – анализу макроэкономической динамики // Вестник технологического университета. – 2015. - Т.18. №7. - С. 231-235.

14.  I. I. Ismagilov; S. F. Khasanova. Algorithms of quasi evaluation of polynomial trend of the digital signals based on oblique discrete walsh transformations 2016 2nd International Conference on Industrial Engineering, Applications and Manufacturing (ICSM) Year: 2016 Pages: 1 - 5, DOI: 10.1109/ICIEAM.2016.7911545.

15. Исмагилов И.И. Дискретные преобразования в базисах кусочно-степенных функций и их свойства // Известия вузов. Радиоэлектроника. - 2001. -№3. – С.54-59.

16.  Исмагилов И.И. Об одном обобщении системы дискретных функций Радемахера // Доклады Академии Наук Республики Узбекистан. - 1996. -№8. -С.16-18.

17.  Исмагилов И.И. Наклонные функции Радемахера: свойства и применение в задачах цифровой обработки сигналов // Известия вузов. Радиоэлектроника. - 1996. -№12. -С.11-16.

18.  Дагман Э.Е., Кухарев Г.А. Быстрые дискретные ортогональные преобразования. - Новосибирск: Наука, 1983. - 232 с.

Bibliography

1. Econometrics / Ed. I.I. Eliseevoy. Moscow: Finance and Statistics, 2008. -576 p.

2. Ismagilov I.I., Khasanova S.F. Algorithms of the parametric estimation of polynomial trend models of time series on discrete transforms. // Academy of Strategic Management Journal, Volume 15, Special Issue, 2016. - P. 21-28.

3. Mudrov VI, Kushko V.L. Measurement processing methods: Quasi-like estimates. - M .: Radio and Communication, 1983. - 304 p.

4. Vuchkov I., Boyadjieva L., Solakov E. Applied linear regression analysis. - М.: Finance and Statistics, 1987. - 239 p.

5. Smolyak SA, Titarenko BP Robust estimation methods. - M.: Statistics, 1980. - 208 p.

6. Huber P. Robustness in statistics: Per. with English. - M.: Mir, 1984. - 304 p.

7. Ismagilov I.I. Spectral Approach to Polynomial Approximation of Digital Signals // Electronic Modeling. - 1993. - 6. - P. 51-54.

8. Ismagilov I.I. Discrete transformations in bases of Walsh-like functions: Fundamentals of theory and applications in digital signal processing. – Kazan: Fatherland, 2003.

9. Ismagilov II, Kostromin A.V. Algorithms for parametric estimation of polynomial models of digital signals // Bulletin of the Kazan State Technical University. A.N. Tupolev. - 2004. - № 4. - P. 49-53.

10. Ismagilov II, Kostromin A.V. Algorithms of estimation and statistical analysis of polynomial time series models on the basis of discrete transformations / Vestnik KGFEI. – 2009. - №4.

11. Ismagilov I.I. Oblique generalizations of discrete Walsh bases, Izvestiya Vuzov. Radioelectronics. - 2010. - №12. - P. 1-16.

12. Ismagilov I.I., Agliullin I.N., Kirpichnikov A.P., Kostromin A.V. Polynomial models of digital signal trends: estimation algorithms based on discrete transformations and a comparative analysis of their computational complexity // Bulletin of Kazan Technological University. - 2015. - T. 18. No. 12. - P. 132-138.

13. Ismagilov I.I., Kirpichnikov A.P., Kostromin A.V., Khasanova S.F. Application of the fast discrete transformation to the phase spline analysis of macroeconomic dynamics // Bulletin of the Technological University. – 2015. - v.18. №7, - P. 231-235.

14. Ismagilov I. I.; Khasanova S. F. Algorithms of quasi evaluation of the polynomial trend of the digital signals based on oblique discrete Walsh transformations / 2016 2nd International Conference on Industrial Engineering, Applications and Manufacturing (ICSM) Year: 2016 Pages: 1 - 5, DOI: 10.1109 / ICIEAM.2016.7911545

15. Ismagilov I.I. Discrete transformations in the bases of piecewise-power functions and their properties // Izvestiya Vuzov. Radioelectronics. - 2001. - No. 3. - P.54-59.

16. Ismagilov I.I. On a generalization of the system of discrete Rademacher functions // Reports of the Academy of Sciences of the Republic of Uzbekistan. - 1996. - 8. - P. 16-18.

17. Ismagilov I.I. Rademacher's inclined functions: properties and applications in digital signal processing // Izvestiya Vuzov. Radioelectronics. - 1996. - 12. - C.11-16.

18. Dagman E.E., Kukharev G.A. Fast discrete orthogonal transformations. - Novosibirsk: Science, 1983. - 232 p.